\chapter{1959年,CORDIC算法原理及其数值计算应用}
	
	\begin{abstract}
		本文系统分析了1959年J.D. Volder在《IRE Transactions on Electronic Computers》上首次提出的坐标旋转数字计算（CORDIC）方法。该算法通过迭代位移和加法运算实现超越函数计算，为早期航空导航计算机提供了硬件友好的解决方案。本文完整重构了原始推导过程，并验证了其在圆周旋转系统下的收敛性。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1959年，Jack E. Volder在Convair公司研发Atlas导航系统时，为解决实时三角计算问题，首次提出CORDIC算法\cite{volder1959}。该算法通过以下创新点实现突破：
	\begin{itemize}
		\item 二进制基数的伪旋转机制
		\item 位移-加法替代乘法运算
		\item 可扩展的迭代结构
	\end{itemize}
	
	\section{算法原理}
	\subsection{旋转模式推导}
	给定初始向量$(x_0,y_0)$，旋转角度$\theta$可分解为：
	\begin{equation}
		\theta = \sum_{i=0}^{n-1} \sigma_i \arctan(2^{-i}), \quad \sigma_i \in \{-1,1\}
	\end{equation}
	
	每次迭代执行伪旋转：
	\begin{align}
		x_{i+1} &= x_i - \sigma_i y_i \cdot 2^{-i} \\
		y_{i+1} &= y_i + \sigma_i x_i \cdot 2^{-i} \\
		z_{i+1} &= z_i - \sigma_i \arctan(2^{-i})
	\end{align}
	
	\subsection{缩放因子补偿}
	迭代过程引入幅度增益：
	\begin{equation}
		K_n = \prod_{i=0}^{n-1} \sqrt{1+2^{-2i}} \approx 1.646760258
	\end{equation}
	
	需通过预缩放或后处理消除。
	
	\section{收敛性证明}
	Volder通过几何级数证明了算法的均匀收敛性：
	\begin{equation}
		|\theta_{remaining}| \leq \arctan(2^{-(n-1)}) \quad \text{当} \ n \geq \lceil \log_2(1/\epsilon)\rceil
	\end{equation}
	
	\section{硬件实现}
	原始论文提出的数字电路设计：
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{CORDIC迭代单元组成}
		\begin{tabular}{ll}
			组件 & 功能 \\ \hline
			移位寄存器 & 实现$2^{-i}$乘法 \\
			条件取反器 & 控制旋转方向 \\
			加法器链 & 并行更新状态 \\
			ROM查找表 & 存储$\arctan(2^{-i})$ \\
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{现代应用}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cordic_flowchart}
		\caption{CORDIC计算流程图}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	Volder的原始推导确立了CORDIC作为：
	\begin{enumerate}
		\item 首个完全数字化的坐标旋转算法
		\item 嵌入式超越函数计算的标准方法
		\item 后续扩展研究的基础（双曲坐标、线性系统等）
	\end{enumerate}
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{volder1959} 
		Volder, J. (1959). 
		"The CORDIC Trigonometric Computing Technique", 
		\emph{IRE Transactions on Electronic Computers}, 
		EC-8(3), 330-334.
	\end{thebibliography}
	